Por: Pablo Eduardo Cardoso Ávila, CIO.
Si alguna vez colgaste una hamaca, una cadena o una cuerda pesada entre dos puntos, sin pensarlo trazaste una curva matemática fascinante: la catenaria. Durante siglos, los científicos se preguntaron cuál era la forma exacta que adopta una cuerda suspendida bajo su propio peso. La catenaria es una de las formas más eficientes que existen en la naturaleza para soportar su propio peso, y por eso ha sido adoptada en ingeniería y arquitectura desde hace siglos.
Basta mirar un puente colgante para ver su silueta dibujada en el aire: los cables principales, además de sostenerse a sí mismos, cargan con el peso del tablero,la parte horizontal por donde circulan los autos, y transmiten esa carga a las torres. Cuando la cadena o el cable cuelga, toda la estructura trabaja bajo tensión, estirándose para equilibrar su propio peso y el de la carga que sostiene. Esta forma cercana a la catenaria permite que esa tensión se distribuya de manera uniforme y que la estructura sea sorprendentemente esbelta. También las líneas eléctricas nos muestran esta curva de manera natural: en los tramos largos, cuelgan siguiendo casi exactamente la ecuación que describieron Huygens, Leibniz y Bernoulli.
La belleza de esta curva también conquistó a los arquitectos. Cuando se invierte la catenaria para formar un arco, las fuerzas se invierten también: lo que antes era tensión ahora se convierte en compresión. Esta propiedad hace que la catenaria invertida sea la forma más eficiente para construir arcos, pues todo el material trabaja apretado, sin flexión. Antoni Gaudí lo sabía bien: en su taller de Barcelona colgaba cadenas y las fotografiaba en posición invertida para diseñar las bóvedas y arcos de la Sagrada Familia, logrando estructuras tan elegantes como resistentes. Siglos después, esta misma idea inspiró el diseño del Gateway Arch en St. Louis, un arco de 192 metros que se levanta como una catenaria de acero brillante, símbolo de la expansión hacia el oeste de Estados Unidos.
En el mundo antiguo encontramos un ejemplo monumental: el Arco de Ctesifonte, también conocido como Taq Kasra, ubicado cerca de Bagdad, Irak. Construido en el siglo VI durante el Imperio Sasánida, es el arco de ladrillo más grande que ha sobrevivido de la Antigüedad. Su forma se aproxima a una catenaria invertida, lo que le permite sostenerse principalmente por compresión, sin necesidad de refuerzos metálicos. A pesar de haber resistido siglos de conflictos y terremotos, sigue en pie como un testimonio de la ingeniería temprana [1].
Un ejemplo cercano y fascinante se encuentra en México: el Puente de Ojuela, en Mapimí, Durango. Construido a finales del siglo XIX para conectar una antigua mina de oro, tiene 315 m de longitud y 2 m de ancho, es un puente colgante histórico cuyos cables principales siguen la forma de una catenaria casi perfecta. Hoy es un atractivo turístico y un excelente recordatorio de cómo esta curva ha permitido construir estructuras ligeras y resistentes incluso en entornos desafiantes.
Y no hace falta viajar para encontrarse con esta curva: está en todas partes. Se ve en una hamaca que cuelga en el jardín, en las cuerdas para tender la ropa al sol y en las guirnaldas de luces o adornos que iluminan las fiestas. La catenaria está ahí, silenciosa, recordándonos que la naturaleza y las matemáticas trabajan juntas para encontrar el equilibrio.
En 1638, Galileo Galilei (Pisa, Italia) publicó Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, donde afirmó que la curva debía ser una parábola. Su intuición fue brillante para la época, pero estaba equivocada.
Seis décadas después, en 1691, un reto matemático planteado por Jakob Bernoulli (Basilea, Suiza), encendió una competencia intelectual en Europa. Tres grandes mentes respondieron al desafío: Christiaan Huygens (La Haya, Países Bajos), Gottfried Wilhelm Leibniz (Leipzig, Alemania) y Johan Bernoulli (hermano y rival científico de Jakob). Cada uno llegó por caminos distintos a la misma respuesta. La cuerva no era parabólica, sino una nueva función matemática:
Esta ecuación combina dos exponenciales: , que es creciente, empuja la curva hacia arriba en la parte derecha. , que es decreciente, empuja la curva hacia arriba en la parte izquierda.
El resultado es perfectamente simétrico y establece un equilibrio entre estas dos fuerzas opuestas. Cada vez que miramos una cadena colgante, estamos viendo la suma de un crecimiento y un decaimiento exponencial dibujados en el aire.
Mientras que la parábola se rige por una ecuación cuadrática, es decir, solo involucra el término x2 , la catenaria, por su naturaleza exponencial, puede expresarse como una serie infinita que incluye componentes de todas las potencias pares de x: x2, x4, x6 y así sucesivamente. Esto explica por qué cerca del vértice parecen casi iguales, pero al alejarnos la catenaria crece más rápidamente.
¿Cómo resolvieron el enigma?
Lo más fascinante de esta historia es que, aunque todos buscaban la misma respuesta, cada científico siguió un camino distinto para hallarla.
Christiaan Huygens recurrió a la geometría pura, imaginando pequeñas secciones de la cadena en equilibrio y deduciendo paso a paso la forma que debía adoptar.
Gottfried Wilhelm Leibniz, en cambio, aprovechó su recién inventado cálculo diferencial para plantear una ecuación que describiera la curva y resolverla analíticamente.
Johann Bernoulli, por su parte, eligió un enfoque diferente: buscó la curva que minimiza la energía potencial de la cadena, anticipándose a lo que siglos más tarde se formalizaría como el cálculo variacional.
Que tres métodos tan distintos llegaran a la misma solución no solo confirmó que la respuesta era correcta, sino que demostró al mundo el poder de las nuevas matemáticas que estaban naciendo en el siglo XVII.
La catenaria es la prueba de que la naturaleza busca el equilibrio y de que las matemáticas pueden describirlo con elegancia. Cada cadena que cuelga o arco que se eleva nos recuerda que la matemática no solo vive en los libros, sino también en el mundo que habitamos. Quizás eso sea lo más hermoso de esta curva: que nos invita a mirar el mundo con otros ojos y descubrir que la matemática está viva en el aire, en las construcciones y en los pequeños detalles de la vida cotidiana.
[1] Miccoli Stefano, et al. (2023) New historical records about the construction of the Arch of Ctesiphon and their impact on the history of structural engineering Notes Rec. 77113–134 http://doi.org/10.1098/rsnr.2021.0025