Debido a la pandemia del virus Covid-19 es frecuente escuchar a comentaristas en la televisión, la radio u otros medios, que la transmisión de este virus es “exponencial”. ¿Qué significa esto? Pareciera que la palabra “exponencial” adquirió un sentido siniestro, malévolo y peligroso que confirmé cuando escuche a una madre reprimir a su travieso hijo diciéndole: ¡Hijo, tus travesuras ya son exponenciales!
Una progresión aritmética es una sucesión de números relacionados entre sí por una ley matemática, por ejemplo, en la siguiente sucesión de números: 2, 5, 8, 11, 14& Podemos inmediatamente notar que la diferencia entre cualquiera dos términos es una constante pues: cinco menos dos es tres; ocho menos cinco es tres; once menos ocho es tres, etc. La diferencia entre todos los términos sucesivos de la progresión es tres y ésta es la regla matemática que define a la progresión de este ejemplo. Por tanto, en general podemos decir que una progresión aritmética es aquella en la que, “la diferencia entre todos los términos sucesivos de la progresión es una cantidad constante”. La gráfica de una progresión aritmética es siempre una línea recta y debido a esto se dice también que, “el crecimiento es lineal”.
Por otra parte, una progresión geométrica es también una sucesión de números relacionados entre sí por una ley matemática específica, por ejemplo: 3, 9, 27, 81, 243& Podemos notar que cada nuevo termino se obtiene tomando el termino anterior y multiplicándolo por una constante, en este ejemplo la constante multiplicativa es el número tres, pues: tres multiplicado por tres es nueve; nueve multiplicado por tres es veintisiete, y así para los demás términos.
Igualmente podemos notar que dividiendo entre sí dos términos sucesivos de la progresión obtenemos una cantidad constante que en este ejemplo es el número tres pues: nueve dividido entre tres es tres; veintisiete dividido entre nueve es tres; ochenta y uno dividido entre veintisiete es tres, y finalmente; doscientos cuarenta y tres dividido entre ochenta y uno es tres. La gráfica de una progresión geométrica crece mucho más rápido que la de una progresión aritmética.
Al tomar los primeros dos términos de una progresión geométrica se podría pensar que el crecimiento es lineal (en el ejemplo anterior, de 3 pasa a 9), sin embargo, es claro inmediatamente después que cada término de la progresión geométrica crece mucho, muchísimo, más rápido que en una progresión aritmética.
La cantidad por la cual se multiplica cada nuevo término de una progresión geométrica se llama “razón” y puede ser cualquier número sin embargo hay un número específico, que es la famosa constante de Euler: e=2.71828&, que tiene la hermosa propiedad de que: la taza del crecimiento de la función es proporcional al valor mismo de la función (matemáticamente se dice que el valor de la derivada de la función exponencial es igual al valor de la función exponencial).
Esta es la función exponencial y describe necesariamente un crecimiento exponencial: Como ejemplo partamos de un número inicial para una serie geométrica-exponencial, digamos el número 1, el siguiente término de la progresión se obtiene multiplicando el número uno por la constante “e” y el resultado es, 2.71828; el siguiente termino se obtiene nuevamente multiplicando el resultado anterior por la constante “e” y obtenemos 7.38905; el siguiente termino se obtiene multiplicando el resultado del término anterior nuevamente por la constante “e” y obtenemos 20.08553; y así sucesivamente para los términos subsiguientes. Cuando una progresión geométrica usa como “razón” la constante “e” decimos que tenemos una función exponencial.
Podemos resumir los párrafos anteriores así: i) En las progresiones aritméticas la sustracción de dos términos sucesivos es siempre una constante. ii) En las progresiones geométricas la división de dos términos sucesivos siempre es una constante. iii) Si en una progresión geométrica la “razón” usada entre términos sucesivos es la constante de Euler “e=2.71828&” se obtiene una función exponencial.
Es interesante saber que las funciones exponenciales se encuentran en muchos fenómenos de la naturaleza. Ejemplos notables entre muchos otros son los siguientes: i) El voltaje de carga de un capacitor al ser cargado por una batería, ii) La corriente de descarga de un capacitor a través de una resistencia, iii) Las reacciones nucleares en cadena como las encontradas en una explosión atómica, iv) El decaimiento radioactivo de un isótopo como en las pruebas de datación por Carbono 14, v) El crecimiento de las poblaciones animales suponiendo alimento infinito y no depredadores, vi) La infección por un virus en una población no inmunizada como es el caso del Covid-19, vii) El crecimiento, o decrecimiento, económico de un país, viii) La amplificación de la luz en un amplificador láser.
Es preocupante notar que algunas gráficas mostradas por la Secretaría de Salud para el número de casos del Covid-19 muestran un “aplanamiento” (aparentemente más lineal que exponencial), mientras que la información proporcionada por Wikipedia para nuestro país (https://en.wikipedia.org/wiki/2020_coronavirus_pandemic_in_Mexico), sigue mostrando un crecimiento claramente exponencial.
A las personas interesadas en comprender con mayor detalle matemático el crecimiento exponencial se le sugiere el artículo: “Amplificación Láser y Matemáticas Básicas: Una guía pedagógica”. Que está disponible gratuitamente en la siguiente liga: